Міністерство освіти і науки України Національний університет “Львівська політехніка” СИНТЕЗ СИГНАЛІВ ЗА ФУР’Є Методичні вказівки до лабораторної роботи № 4 з предмету “Сигнали та процеси в радіоелектроніці”, для студентів базового напряму “Радіотехніка” ЗАТВЕРДЖЕНО на засіданні кафедри “Теоретична радіотехніка та радіовимірювання” Протокол № 4 від 27 листопада 2003 р. Львів - 2003 1. МЕТА РОБОТИ Метою роботи е вивчення методів аналізу і синтезу складних сигналів за допомогою систем ортогональних елементарних гармонічних функцій. 2. ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ З математики відомо, що довільну складну функцію  EMBED Equation.3 
 завжди можна подати у вигляді суми простих (елементарних) функцій  EMBED Equation.3 
, тобто подати її у вигляді узагальненого ряду Фур’є:  EMBED Equation.3 
, (1) де  EMBED Equation.3 
- коефіцієнти узагальненого ряду Фур’є – значення проекцій складної функції  EMBED Equation.3 
 на координатні осі багатовимірного простору, що задаються простими елементарними функціями  EMBED Equation.3 
. З (1) випливає, що будь який складний сигнал  EMBED Equation.3 
 можна точно описати безмежною сумою зважених ортогональних елементарних сигналів  EMBED Equation.3 
, тобто розкласти його в узагальнений ряд Фур’є. Проте при практичному розв’язку багатьох інженерних задач замість ряду (1) використовують вкорочений ряд Фур’є:  EMBED Equation.3 
, (2) який описує заданий сигнал з деякою допустимою похибкою, середньоквадратичне значення якої залежить від числа врахованих коефіцієнтів ряду N і оцінюється виразом:  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 (3) Величина  називається середньою квадратичною похибкою апроксимації (подання) рядом EMBED Equation.3
 заданого сигналу s(t). Якщо для неперервного сигналу можна вибрати ai так, щоб при збільшенні кількості членів ряду величина  ставала достатньо малою, то сукупність ортого-нальних функцій {fi (t)} називається повною, а ряд (2) в цьому випадку називається збіжним в середньому. В загальному випадку елементарні функції  EMBED Equation.3 
 можуть бути довільними, проте, якщо потрібно забезпечити умову взаємної незалежності значень коефіці-єнтів  EMBED Equation.3 
 узагальненого ряду Фур’є, елементарні функції  EMBED Equation.3 
 повинні задовольняти умову ортогональності на деякому відрізку часу (t1, t2):  EMBED Equation.3 
, (4) де  EMBED Equation.3 
 У цьому випадку сукупність функцій називають системою ортогональних функцій на відрізку (t1, t2). Якщо при цьому додатково виконується умова  EMBED Equation.3 
, (5) то систему елементарних функцій { EMBED Equation.3 
} називають ортонормованою. В даному випадку, для періодичних сигналів  EMBED Equation.3 
 (n – довільне ціле число; Т – період повторення) елементарні функції повинні задовольняти умову періодичності  EMBED Equation.3 
. Неважко довести, що використання при розкладі сигналу  EMBED Equation.3 
 в ряд (1) елементарних ортогональних або ортонормованих функцій  EMBED Equation.3 
 дозволяє одноз-начно визначати коефіцієнти аі ряду у вибраному координатному базисі:  EMBED Equation.3 
. (6) Аналіз показує, що визначення коефіцієнтів ряду аі за формулою (4) забезпечує мінімальну середню квадратичну похибку апроксимації сигналу рядом (1) або (2). Вибір виду ортогональних функцій, за якими проводиться розклад складного сигналу на суму елементарних сигналів залежить від форми і властивостей склад-ного сигналу. Так для періодичних сигналів, миттєве значення яких монотонно змінюється в часі, найчастіше використовується система гармонічних функцій з кратними аргументами ( EMBED Equation.3 
 і (або)  EMBED Equation.3 
,  EMBED Equation.3 
) та система екс...